Tangente commune à deux courbes

La figure suivante montre la courbe \(\mathcal{C}_f\) représentative  de la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{4}\) .

\(g\)  est la fonction définie sur \([0 \ ; +\infty[\) par 𝑔(𝑥) = \(2\sqrt{x}\)  (non représentée sur la figure).

1. Déterminer les fonctions dérivées de \(f\)  et de \(g\) .

2. Déterminer une équation de la tangente \(\mathcal{T}\)  à \(\mathcal{C}_f\) en \(A\left(1 \ ; \ 2\right)\) .

3. Montrer que \(\mathcal{T}\)  est aussi une tangente à la courbe   \(\mathcal{C}_g\) représentative  de la fonction \(g\) .